おっしゃるとおり、フウセンタケの仲間だと思います。
種名までは分かりませんが。
二枚目の写真で、傘の先端が少し内側に巻き込んでいる点、
フウセンタケには、蜘蛛の巣のような外被幕があると書き込みましたが、蜘蛛の巣のようではない外被幕もあること、
外被幕の跡のような物が見えること、
3枚目の写真に、その外被幕の跡が、足にも残っていること。
足は膨らんでいないが(フウセンタケは足もとが膨らむものが多い)、フウセンタケの仲間であると思います。
フウセンタケの仲間は、まだ名前のついていないもの(学者が取り残している)が数十種あるであろうということなので、新種かも知れません。
その上に、公園ということですので、外国から入って来た芝生とか土に胞子がついていて、それから
発生した可能性も考えなければなりません。